LA - Determinants

 

Determinants

$A = (a_{ij})$ is a square matrix, then the determinant of $A$ is a number.

Denoted by: $det(A)$ or $|A|$

Minor of entry $a_{ij}$: $M_{ij}$

Cofactor of entry $a_{ij}$ = $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

Formula of $det(A)$: $\sum^n_{j=1} a_{1j} C_{1j} = \sum^n_{j=1} a_{1j}(-1)^{1+j} M_{1j}$ 

Smart choice!!! Choose the row/ column with most zeros!!!

How an operation affects the value of determinant: 

1. Swap the row/column: đổi dấu giá trị det
2. Multiply a row/ column with $\lambda$: nhân $\lambda$ với giá trị det
3. cộng trừ các hàng cột với nhau: det giữ nguyên

If a matrix has two equal rows or columns, its determinant = 0.

If a matrix has two proportional rows or columns, its det = 0.

$A, B$ are two square matrices of the same size: $det(AB) = det(A)*det(B)$

$det(\alpha AB) = \alpha^n*detA*detB$ with $n$ is the rank of the matrices.

A minor of A of order k: chỉ những matrix vuông có kích thước k*k trong matrix lớn. 

The rank of A được kết luận từ matrix con có cạnh k lớn nhất có được.

Cách kết luận matrix con lớn nhất: 

Nếu tất cả det của maximal minors đều bằng 0 thì không nhận, ta xét tiếp trường hợp bé hơn. 

Nếu tồn tại det khác 0 thì nhận. 

Nếu tất cả det đều bằng 0 thì rank = 0 

Nếu $det A \ne 0$ thì $A$ is invertible: $A*A^{-1} = I$

$det(A^{-1}) = \frac{1}{detA}$

If $A, B$ are invertible, then $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

$AX = B \to X = A^{-1}B$ when $A$ is an n x n square matrix and $B$ is an n x p matrix. 

$AX = B \to X = BA^{-1}$ when $A$ is an n x n square matrix and $B$ is an p x n matrix. 

$AXB = C \to X = A^{-1}CB^{-1}$ when A is nxn, B is mxm, C is nxm <Bánh mì kẹp thịt>